Las personas con grandes hábitos calculatorios facilitan con frecuencia las operaciones mediante transformaciones algebraicas poco complejas. Por ejemplo, la operación 9882 se efectúa como sigue:
988 * 988 = (988 + 12) * (988 - 12) + 122 =
Es fácil comprender que en este caso se recurre a la siguiente transformación algebraica:
a2= a2 – b2 + b2= (a+b)(a-b)+b2
En la práctica podemos aplicar esta fórmula para los cálculos mentales. Por ejemplo:
272 = (27 + 3)*(27 - 3) + 32 = 729
632 = 66 * 60 + 32 = 3.969
182 = 20 – 16 + 22 = 324
372 = 40 * 34 + 32 =1.369
482 = 50 - 46 + 22 = 2.304
542 = 58 * 50 + 42 = 2.916
La multiplicación 986 * 997 se realiza así:
986 * 997 = (986 - 3) * 1.000 + 3 * 14 = 983.042.
¿En qué se basa este método? Supongamos a los factores en forma de:
(1.000 - 14) * (1.000 - 3) y multipliquemos estos factores según las reglas del álgebra:
1.000 * 1.000 – 1.000 * 14 – 1.000 * 3 + 14 * 3.
A continuación siguen las transformaciones:
1.000*(1.000 - 14) –1.000 * 3 + 14 * 3 =
= 1.000 * 986 – 1.000 * 3 + 14 * 3 =
= 1.000 (986 - 3) + 14 * 3
La última línea es la que expresa el método de dicho cálculo. Ofrece interés el procedimiento para multiplicar dos números compuestos de tres cifras, cuando el guarismo de las decenas es el mismo, y la suma de las unidades, 10.
Por ejemplo, la multiplicación
783 * 787 se efectuará de esta manera:
78 * 79 = 6.162; 3 * 7 = 21 y su resultado es
Este método se deduce de las siguientes transformaciones:
(780 - 1 - 3) * (780 - 1 - 7) =
= 780 * 780 - 1 - 7803 + 780 * 7 + 3 * 7 =
= 780 * 780 + 780 * 10 + 3 * 7 =
= 780 * (780 + 10) + 3 * 7 = 780 * 790 + 21 =
= 616.200 + 21
Existe otro medio, todavía más sencillo, para realizar multiplicaciones análogas:
783 * 787 = (785 - 2) * (785 + 2) = 7852 - 22 =
= 616.225 - 4 = 616.221
En este ejemplo hemos tenido que elevar al cuadrado el número 785. Para elevar rápidamente al cuadrado un número acabado en 5, es muy cómodo el siguiente método:
352; 3 * 4 = 12; resultado 1.225
652; 6 * 7 = 42; resultado 4.225
752; 7 * 8 = 56; resultado 5.625
Se efectúa la operación multiplicando la cifra de las decenas por otra mayor que ésta en una unidad, y escribiendo 25 a continuación del resultado.
El método se basa en lo siguiente: si el número de decenas es a, todo el número puede ser expresado así: 10a + 5.
El cuadrado de este número, como cuadrado de un binomio será igual a: 100a2 + 100a + 25 = 100a * (a + 1) + 25
La expresión a * (a + 1) es el resultado de multiplicar la cifra de las decenas por ella misma aumentada en una unidad. Multiplicar el número por 100 y añadirle 25 es lo mismo que colocar 25 a la derecha del producto. De este mismo método se desprende el sencillo medio de elevar al cuadrado los números mixtos en los que la parte fraccionaria es ½.
Por ejemplo:
(3 ½)2 = 3,52 = 12,25 = 12 ¼
(7 ½)2 = 7,52 = 56,25 = 56 ¼
(8 ½)2 = 8,52 = 72,25 = 72 ¼
Algebra Recreativa de Yakov Perelman
Corregido por Guillermo Mejía y Preparado por Patricio Barros
esta bueno
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