La Matemática posee una explicación para todo

https://youtu.be/7ldiDsU7QVg

INECUACIONES. Ejercicios resueltos

Inecuación Racional

Inecuación Lineal

Inecuación Cuadrática

FACTORIZACIÓN

Productos Notables

Productos notables es el nombre que se le asigna a las multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo desarrollo se puede escribir mediante una simple inspección, sin verificar la multiplicación.

Resolver ejercicios donde se puedan obtener con un simple desarrollo el resultado de un producto de dos expresiones algebraicas, sin la necesidad de aplicar la propiedad distributiva.

 

Criterios Numéricos

Divisibilidad

Es la parte de la aritmética que estudia las condiciones que debe tener un número para ser dividido exactamente por otro.

Principios básicos:

1.       Si un número divide a otros dos, divide a su suma a su diferencia y a su producto.

2.     Si un número divide al dividendo y al divisor de una división inexacta, divide también al residuo.

Criterios de divisibilidad

·          Un número es divisible por dos cuando termina en cero o cifra par.

·          Un número es divisible por cinco cuando termina en cero o cinco.

·          Un número es divisible por tres cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de tres.

·          Un número es divisible por once cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de once.

·           Un número es divisible por siete cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por dos, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de siete.

Números Primos

Un número es primo cuando sólo se puede dividir entre sí mismo y a la unida.

Teoremas:

1. Todo número compuesto tiene por lo menos un factor primo mayor que uno.
2. La serie de los números primos es ilimitada, o sean, que por grande que sea un número primo, siempre hay otro número primo mayor.
3. Si un número primo no divide a otro número, necesariamente son primos entre sí.
4. Todo número que divide a un producto de dos factores y es primo con uno de ellos, necesariamente divide al otro factor.
5. Todo número primo que divide a un producto de varios factores, divide por lo menos a uno de ellos.
6. Todo número primo que divide a una potencia de un número tiene que dividir a este número.
7. Si dos números son primos entre sí, todas sus potencias también son números primos entre sí.

Descomposición de factores primos

Descomponer un número en sus factores primos es convertirlo en un producto indicado de factores primos.

Todo número compuesto es igual a un producto de factores primos.

Regla para descomponer un número compuesto en sus factores primos:

Se divide el número dado por el menor de sus divisores primos; el cociente se divide también por el menor de sus divisores primos y así sucesivamente con los demás cocientes, hasta hallar un cociente primo, que se dividirá por sí mismo.

Un número compuesto no puede descomponerse más que un solo sistema de factores primos.

Máximo Común Divisor

Se llama máximo común divisor de dos o más números al mayor entero que los divide a todos a la vez.

Para hallar el máximo común divisor se descomponen los números en sus factores primos y se considera el producto de los comunes con su menor exponente.

Mínimo Común Múltiplo

Se llama mínimo común múltiplo de dos números al menor múltiplo común a todos ellos.

Para hallar el mínimo común múltiplo, se descompone en factores primos y se multiplican los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

Sistemas de numeración de etnias Venezolanas

La numeración varía de una etnia a otra, encontrándose semejanzas en la utilización de las manos y dedos, así como el ser humano como unidad, utilizados como referencia para la construcción de los números en su lenguaje.

Las etnias cuiva y hiwi utilizan vocablos para designar los números del 1 al 5, así como para establecer diferencias entre “pocos” y “muchos”.

• Los cuiva dicen así: 1 (Ka), 2 (Jana, Janumbe), 3 (Akoyobe), 4 (Nakoyobe), 5 (Matoyobe, Jana matoyobe, Matobujju,Matobujjuyobe), muchos (Pijimona), pocos (Kayobe).

• Los hiwi así: 1 (Kae), 2 (Anija, Najua), 3 (Akueyabi), 4 (Penayanatsi), 5 (Kae kobee = una mano, cinco), mucho (Bitsoo), poco (Tsiikirijawayoo).

• Los piaroa, a diferencia de los anteriores, utilizan vocablos que se extienden hasta el 10, además utilizan una expresión que significa “este” para contar señalan-do los objetos, al finalizar el conteo terminan con el numero correspondiente. Cuando se trata de muchos objetos, se valen de palos con marcas. Así cuentan los piaroa: 1 (Yauteta), 2 (Todare), 3 (Wametukuaa), 4 (Pajakuanu), 5 (Jimutejawa), 6 (Koromuttunu), 7 (Koromuttunu taju), 8 (Koromottumu wametukua), 9 (Koromuttunu paiakuanu), 10 (Tomurejawa).

• Los yanomami solo cuentan hasta 2, además de utilizar expresiones para cantidades más grandes: 1 (Mahu,Mori), 2 (Horohobi), mas de dos o muchos (Bruka), numerosos (Yaharawe).

• Los warao expresan los números del 1 al 12 y las cantidades 20, 30, 40, 50, 60,70, 80, 90 y 100 de la siguiente manera: 1 (Jisaka), 2 (Manamo), 3 (Dijanamo), 4 (Orabakaya), 5 (Mojabasi), 6 (Mojo/matana jisaka), 7 (Mojo/matana manamo), 8 (Mojo/matana dijanamo), 9 (Mojo/matana orabakaya), 10 (Mojo/reko), 11 (Mojo/reko arai jisaka), 12 (Mojo/reko arai manamo), 20 (Warao jisaka), 30 (Warao dijamano), 40 (Warao manamo), 50 (Warau manamo arai mohoreko), 60 (Warau diyanamo), 70 (Warau diyanamo arai morhoreko), 80 (Warau urabakaiya), 90 (Warau urabakaiya arai mohoreko), 100 (Warau mohabasi), mucho(s) (Era, eraja), poco(s) (Sanuka).

• El wayuu es considerado uno de los sistemas de numeración mas completo. Veamos como cuentan los wayuu: 1 (Wane), 2 (Pia’ma), 3 (Apu’nuin), 4 (Pieinchi), 5 (Jahrrai), 6 (Aipirrua), 7 (Aka’rraishii), 8 (Mekisatu), 9 (Mkieetasalu), 10 (Po’lo), 11 (Po’lo waneshimiuini), 12 (Po’lo-pia’mamuin), 13 (Po’lo apu’nuinmuin), 20 (Pia’majiki [shiki]), 21 (Pia’ma jiki waneshimuin), 30 (Apu’nuin jiki), 40 (Pienchi jiki), 100 (Polo jiki [shiki]), mucho (Maima; Maima), poco (Pali’rru), todo (Apishua’a).

• Entre las etnias caribe, están los kari’na, para quienes la palabra anna significa mano, lo que hace presumir que eran los dedos de una mano el medio para la cuenta básica de esta etnia. Así cuentan los kari’na: 1 (O’vin), 2 (Ooko u ookoone), 3 (Ooruwa), 4 (Ookopaamie’me), 5 (Annatoone), mucho(s) (Antoro), nada (Ootujdaano), ninguno, nadie (Aamujdaano).

El Reloj de Newton

A. Moshkovski, biógrafo y amigo del famoso físico Albert Einstein, en su deseo de distraer a éste durante su enfermedad, le propuso resolver el problema siguiente:“Tomemos un reloj - dijo Moshkovski - que tenga las saetas en las 12. Si en esta posición el minutero y el horario cambiaran de función, la hora marcada sería la misma; pero a otras horas, por ejemplo, a las 6 esa permuta de las saetas daría lugar a un absurdo, a una situación que, en un reloj que marchara normalmente no podría producirse; el minutero no puede hallarse en las 6 cuando el horario se encuentra en las 12. De aquí surge la siguiente pregunta: ¿Cuándo y cada cuánto tiempo ocupan las manecillas de un reloj tal posición en la cual al cambiar éstas de función entre sí se producen nuevas situaciones posibles en un reloj normal?

- Sí, contestó Einstein, este problema es muy apropiado para un hombre obligado por su enfermedad a permanecer postrado en el lecho: despierta bastante interés y no es muy fácil. Me temo, sin embargo, que la distracción dure poco tiempo: he dado ya con la forma de resolverlo.

Se incorporó en el lecho y con unos cuantos trazos dibujó en un papel un esquema que reflejaba las condiciones del problema. Einstein no necesitó para resolverlo más tiempo que el que he empleado yo en formularlo...” ¿Cómo se resuelve?

Solución

Midamos la distancia que recorren las manecillas, valiéndonos de 60 divisiones de la esfera, a partir de las 12. Supongamos que en una de las posiciones buscadas, el horario se encuentra a x fracciones a partir del número 12, y el minutero, a y divisiones.

Como las 60 fracciones son recorridas por el horario en 12 horas, es decir, a 5 divisiones por hora, entonces, x partes de la esfera serán recorridas por el horario en x/5 horas. Dicho con otras palabras, habrán pasado x/5 horas desde que el reloj dio las 12. El minutero recorre y fracciones en y minutos, es decir, en y/60 horas. Expresado de otro modo: el minutero ha pasado la cifra 12 hace y/60 o al cabo de x/5 – y/60 horas después de que ambas saetas se encontraban en las doce. Este número es entero (desde el cero al 11), ya que muestra cuántas horas completas han pasado desde las doce.

Al cambiar las manecillas defunción encontraremos por analogía que a partir de las doce habrán pasado y/5 – x/60 horas completas. Este número también es entero (desde el cero hasta el 11).

Planteamos el siguiente sistema de ecuaciones:

x/5 – y/60 =m

y/5 - x/60 =n

donde m y n son números enteros comprendidos entre el 0 y el 11. En este sistema despejaremos las incógnitas:

x = 60*(12m+n)/143

y = 60*(12n + m)/143

Asignando a m y n un valor comprendido entre 0 y 11 determinaremos todas las posiciones requeridas de las saetas. Como cada uno de los 12 valores que tiene m, puede ser confrontado con cada uno de los 12 de n, quizás parezca que el número de soluciones posibles puede ser 12 * 12 = 144; pero en realidad es igual a 143, porque cuando m = 0, n= 0, y m = 11, n = 11, las manecilla ocupan la misma posición.

Cuando m = 11, n = 11 tenemos: x = 60, = 60, es decir, las manecillas están en las 12, como en el caso de m = 0, n = 0.

No nos detendremos a examinar todas las posiciones posibles; ocupémonos de dos casos:

Primer caso:

m = 1, n = 1; x = 60*13/143 = 5 5/11

es decir, señala 1 hora 5/11 minutos; en este momento las manecillas están en el mismo sitio por lo que pueden cambiar de función (como siempre que coincidan).

Segundo caso:

m = 8, n = 5;

x = {60*(5+12*8)}/143 ≈ 42.38

y = {90*(8+12*5)}/143 ≈ 28.53

Los momentos respectivos serán: las 8 horas y 28,53 minutos y las 5 horas 42,38 minutos.

El número de soluciones, como se indicó ya, es de 143. Para llegar a los puntos de la esfera donde se encuentran las posiciones requeridas de las saetas, hay que dividir la circunferencia de la esfera en 143 partes iguales, obteniendo 143 puntos que son los que buscamos. En los espacios intermedios no hay otras posiciones semejantes de las manecillas.


Algebra Recreativa de Yakov Perelman